日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 taCy U  
Ls{9i\^~N  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. $}R`*!  
II}b=L|  
　　1、三角函数本质： 5e]+A77  
:>Lf`yDfC  
　　三角函数的本质来源于定义 fHY Y~  
C MWRo  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 e18T\UJ  
c0Ldj  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 !Jps9 2X  
"H6]Ps6*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： `6MI:6S  
p=tKIo`  
　　推导： *oj*2_Xv  
z& 1  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 4c"C{SA  
f2djG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #>g<-U>A  
y{.@T N  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) NBa2A_  
LyyTEWjVWk  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 HyXX7cN`,  
O+0*E6`z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） <D@MGu7?  
~[2JUel  
　　[1] VQk*[  
Q]+^%;Q"&  
　　两角和公式 tv$/5{`B6  
J)-Pm?j s  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB eD.Wn{MujP  
pSFs!n}M  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <t2%{_-  
-p.<tg  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB aZLwbi`M  
1:sccO  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K?~E9gH~  
Ok2$#L#8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Yg1e (;gs  
*R0$aJN T  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7W9ik&Hv  
f_&a 75  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (iI[}b  
i\^dH|<  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) xI5'3D[U  
8It<B  
倍角公式 hWN eT3)l  
abrd3@? )  
　　Sin2A=2SinA•CosA Dg$~>45a  
ukhSKA 1`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 PT8feht6  
QKbG(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） v/0OD$k  
FO}5wC a  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \5V#0_;E  
\W5 C>5=  
三倍角公式 ?(+6gjH6  
QdW78o  
　　 j*C$N<u  
2X#>rx{4@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |m1' C "F  
2?JoH  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) -LR 6"+  
\-3p]6  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )k!;2 dRw  
=#Jc g.P<  
三倍角公式推导 sy aj/W'  
[Q[:OwWq  
　　sin3a c,T:|(  
%G~E<c^%I  
　　=sin(2a+a)  CBetvUZ  
iK"SP 3{o  
　　=sin2acosa+cos2asina HvT@R~  
2ck27\YQ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $Qt|q+q  
4|?}\._lC-  
　　=3sina-4sin³a + gr  
vt^Z x,7+9  
　　cos3a +)xhv4k  
`;tYmYjW  
　　=cos(2a+a) !O|2K7w-"  
4k-P-  
　　=cos2acosa-sin2asina &)LN7zvu  
'#jJQ9hoy  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa iI(Y1y{cy  
KP{?uqC  
　　=4cos³a-3cosa o7pf:[  
DE[;VY|n[  
　　sin3a=3sina-4sin³a $xy8"2_  
%/=( Y  
　　=4sina(3/4-sin²a) /8'#46y<?  
G)l2)e\  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] #Qk%1v!$s  
es5u{QO,  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ,@w[">Kt%/  
JB8F$h>  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) bseXex$C  
:4Q X?{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] IF6:cQ  
A`wXdY%QG)  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) nFSLP6>  
RTuCYtFiR  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2k[6n 7  
:L=7r.P  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 3gVAH-  
-NcD>W9  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] S*A- !`  
2<l n\H`y~  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  @EB4g;Z  
T(vZC.|mL"  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) H`hd#cJm  
(U& vzq6\z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} "./)DKue  
U!efj&#  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 7!*{QxA2m  
d;`)m\Lc  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] M?<4  
VQ]z1NI:g"  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] " 'c%sR  
5Vk\0\V  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) SmC=u2]3~1  
;6S h1]fSK  
　　上述两式相比可得 !XzbqX~ pv  
0&7,1CGd  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tfrT`E  
1c0kw4:1Kr  
半角公式 x=uK-r  
u0RU,/S  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V5DWO-<  
y5u&7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. +6RUm[Ew>v  
T)kss"Zw  
和差化积 k8_2T?jiED  
ht@ naKK  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] yX`S  
2bt?-xpU  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <)*7kC.}  
.djvf4b&  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] P6z X#QZB  
-u]?_k(B:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2u V/C!jD  
pr%q:nD?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) >:621v`/  
B n2H.hc_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) NtG U14U}w  
2G'jXcyPa  
积化和差 D(|nJ!C`  
[Os*PT  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 66I#fof!  
2AK]B>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Pc1/z)  
M*5ILN {T  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] </OP]Mp)V2  
3~{&m|>N  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] _yNn*uWRb7  
c('F0b)h  
诱导公式 x&,@PcU  
qmE+k<Cxo  
　　sin(-α) = -sinα *5,bJ&(U  
.[c7#S'S'  
　　cos(-α) = cosα .(a2&~H  
Rp]Wp5  
　　sin(π/2-α) = cosα rRC25($`2  
RdKiM3]  
　　cos(π/2-α) = sinα N@(yU\;b  
@V\xO,)F  
　　sin(π/2+α) = cosα ]='/h$M  
U7 *"a k  
　　cos(π/2+α) = -sinα ${oTz  
96z1o7r.  
　　sin(π-α) = sinα ]cGn6 Ai]  
X-"<O*'#  
　　cos(π-α) = -cosα L 76J0e/  
N_Z9Mrt  
　　sin(π+α) = -sinα VOM`An_<  
3YqNNC]-r  
　　cos(π+α) = -cosα 6<uN#A0J5  
diUr; AxM  
　　tanA= sinA/cosA /huxK  
%bj9 ?Ny  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα [']%]4~,  
Uqv@~z$c<  
　　tan（π/2－α）＝cotα J.(jle{?  
%c#Htus]  
　　tan（π－α）＝－tanα ^`)<O4 }  
m 7a/ ,u?-  
　　tan（π＋α）＝tanα IBS5bMV  
HOwz@EN?  
万能公式 9HeAp6j*H  
E!hBYH  
　　 ~e&"Xhm`K  
r;0 -o<  
其它公式 `a M'7^n  
vykP>'rbN  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 PUZz.wC  
@1L2QaU^  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [xS@v%  
55dV=o5^ a  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 I [S x&%#P  
Sa7YQ?~c  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Q*"@O_D<  
+[6j}j.O  
　　对于任意非直角三角形,总有 NJ&_vZj  
y K>K ;26  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;]+[%}e_  
2X=Ip@\  
　　证: 05^ g?i!P  
rse ^4mY  
　　A+B=π-C h@ qgU}[  
QUK|T,)r  
　　tan(A+B)=tan(π-C) g_l!Abr  
<Dly:-O  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %ygo  q  
f15K;9)d  
　　整理可得 _fG<eL"}  
TjQ, P  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qG+v&.r  
wkF<W3S;wB  
　　得证 $/W-!z!p  
~Lc2rL)  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $YA./DY$<  
Cpy4 mh  
其他非重点三角函数 SevN".'KOu  
#G? z; y I  
　　csc(a) = 1/sin(a) ,LCfw|["  
9hd;JRA  
　　sec(a) = 1/cos(a) 245e I z  
'<*pkq/  
　　 Aew$q||H  
,kP<[|F3G  
双曲函数 ^u c.  
gwq=QR+K '  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ~ I cfPh>  
l V 7d _  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 cW%c?^  
 !ft/z3  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) (W}FAn ~  
&[x+peq  
　　公式一： b !j4KL  
?f^b3O] :  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： -V!v+-0\  
 cN\ ]+  
　　sin（2kπ＋α）= sinα i >cowbf=i  
XZgtHC>@  
　　cos（2kπ＋α）= cosα n{PGT d  
):OVoAl4  
　　tan（kπ＋α）= tanα ;S}=~ M!  
@.b _  
　　cot（kπ＋α）= cotα @Q$RV|$/v  
^a`Yn7e* 7  
　　公式二： Qz;dgR},  
0LOc xUC/  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： b F-a=zs  
 {; A6j  
　　sin（π＋α）= -sinα U= DdlR*  
OzXbsw)x  
　　cos（π＋α）= -cosα 8n . >i:  
M.O<Wfw"  
　　tan（π＋α）= tanα cZ[ \U b(  
`yxi!P  
　　cot（π＋α）= cotα mE&6u c9  
uaYd|.  
　　公式三： #&SHt4jE  
Hl a bl1!  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 7s 9[/  
t1|sto *  
　　sin（-α）= -sinα 7%3^0I_I`  
6=`u(jc|P  
　　cos（-α）= cosα xU'/Tii  
1[ F&w.  
　　tan（-α）= -tanα $;Zh?SS4#  
ehOQw  
　　cot（-α）= -cotα t)G- '  
m?%Tq+!M"*  
　　公式四： !.1DjX{K_  
@j..-y  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： loq}k#e  
R ;Mg  
　　sin（π-α）= sinα <zfdKd>  
oz7 nc>  
　　cos（π-α）= -cosα H{Vv {@  
3~v "(JN  
　　tan（π-α）= -tanα }\|&uAXV  
zs^h8r5Q  
　　cot（π-α）= -cotα %0$jG,$X  
/8L ){9IE  
　　公式五： K Jb'cyt  
RW?a?!eUZ  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： p42hFLMd  
xH%u1t1  
　　sin（2π-α）= -sinα !sY?RBr  
|yV Z  
　　cos（2π-α）= cosα ELbGu  
wZ"v-]@k  
　　tan（2π-α）= -tanα : U."la4  
%c!UDf~f-  
　　cot（2π-α）= -cotα Q%~NzX5;  
H.HO`o  
　　公式六： 5u6 /|Ld  
b#g=;(sJ)  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： YU#TJAB)=  
k 6.o?]n  
　　sin（π/2+α）= cosα EnUW$sK"  
)+[ypTnR  
　　cos（π/2+α）= -sinα .>t =?k21  
&xw[p#|S  
　　tan（π/2+α）= -cotα 1FU6DR^__  
:f*8   
　　cot（π/2+α）= -tanα )"g1a~hO  
~MhUELb M  
　　sin（π/2-α）= cosα "N^HOmS  
ol#"  <H  
　　cos（π/2-α）= sinα 7}sBuX+;l  
*uL_!1X  
　　tan（π/2-α）= cotα onb)2(`(  
)*KT[O?  
　　cot（π/2-α）= tanα S5 =4~!d  
8PLI)K]@4  
　　sin（3π/2+α）= -cosα cu?VPrbkh  
d[ |Y|  
　　cos（3π/2+α）= sinα m1|MbZy  
AV]z.7  
　　tan（3π/2+α）= -cotα X Cw}43  
(T!~%?nb  
　　cot（3π/2+α）= -tanα M9;60'  
[|a@T&vp  
　　sin（3π/2-α）= -cosα '8A6tR8^E_  
Y4| M$  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 7p-tqs_<  
91YP$sr!i  
　　tan（3π/2-α）= cotα mB~A7n*  
4U~%G#&r  
　　cot（3π/2-α）= tanα U  [(9=XK  
0,qh6~9\p  
　　(以上k∈Z) BJdywv@ -  
%|i<kPc5  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Q8$ R&$?gz  
jWWFxj5_`C  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6+LR4?h;  
(4%`.l%\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } K7+J13e  
3Rsd3m :'  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15543) |  收藏