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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Dx^ .b}9N;  
dt3N,Ee[&9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7WYhvV  
P>Nt?[+E  
　　1、三角函数本质： wZp7.Y,  
rVNX `\6  
　　三角函数的本质来源于定义 +dQU$IXCl  
B$VU_b3/  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 yW`_xCs2Z  
xol;#U  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 "6 >nh  
1'v}^jcVWk  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： [4.C v(D  
r|rSaq  
　　推导： )+u:) =  
NVnl\+H  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 3P(Z6K  
5uD1xnTg  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) :diI+VMw  
ba:$}Q^  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) *Z>s"2  
TAl Q9d<  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 .,hUPX+'S  
A@N!o ^A  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） |sJY]!Jl  
3RxnP~Al  
　　[1] { Z}V]F  
L(nYYM}  
　　两角和公式 7B TQxIps  
FSMN B1?l  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB [72hG ?$6  
Xy7~J]z`:  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  < ex_3d  
y//@2P  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB y=06L+2;b`  
pZ;"*`d  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB S3WZ2Q?G  
FD0r~RMC  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ZW.$O1  
EKZcx ^Dp  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) }4`4@?  
8eG)k] YX  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Qr8~?q%  
mQP|';  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) P 'u5vDT  
l=~]1vWz[  
倍角公式 Gy""k@dA/  
&ZO*d  
　　Sin2A=2SinA•CosA EEGUVa*  
6zl7$   
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 !]B5O_^  
#{W80P))  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） xdGORNAT  
K@YAc[b  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） c_e\ ^Y  
g].l+[{h~  
三倍角公式 E)sQ>gbx  
9;rB@.r  
　　 WG5 Si[  
AYT(;rdS  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) # ]I3  
m<>.du)Os  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 9.@P (X%  
h|lnzS=1  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) V[fok }  
u|i3SXa{  
三倍角公式推导 !_a,{+ n  
+z#0\i`;1  
　　sin3a &PT~Jj{  
J^A Oq>L  
　　=sin(2a+a) sem5.N  
5B,g_-+1  
　　=sin2acosa+cos2asina s (I @ J  
Ks{=Vk>}  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8.VGD5 t  
$mX{$d8Gzn  
　　=3sina-4sin³a *|C#FEYk  
e&(Emj  
　　cos3a \~hoN}  
)O@ 8  
　　=cos(2a+a) Mwpawz*  
4 ifKf`  
　　=cos2acosa-sin2asina {u?#=0 w  
Ow^`x"  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa vpOY8U4C>  
! a; ~h  
　　=4cos³a-3cosa D<xuBu@F  
}Q1MJ@dy  
　　sin3a=3sina-4sin³a .!sng~dV  
`xk.gr8b  
　　=4sina(3/4-sin²a) 8RX0)3  
sbuulU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] [/q31wrp  
i,#Es[fk  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) tJ*>X pj  
,y_`g`f[xh  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D5?i#c  
d5yA k@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] DLK.WCo  
"?`P6G(p  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)  GJxi  
;],koZ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7bN^`W3c2$  
{=m>=G#^  
　　=4cosa(cos²a-3/4) v\&*NsP{x7  
7ew[)te  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] MOX= o  
WKz/ Cmc  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) [^@qHT>QN  
>_YL PZ'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ],B Zp M_  
Sj+x~i}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @_tw]O~-XT  
t)3~31&o  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3U@R;h36'  
M^RiW]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =pQ5RrB!  
!+XWf7|t   
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] G6_d[{i0  
%CbedOP}<w  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 3[` )?)  
P*|Qqn :  
　　上述两式相比可得 .(epVD* {q  
n-w,JCNp  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) `qT< -k[R  
~2pnT! B  
半角公式 Ka95t><  
 %YyOS  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Bj4Ka,8  
G~6;*?u\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. L!8Cru#dC  
*vjH4Ubr%  
和差化积 Eo/-!  i<  
a' wE  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vxoFRK;  
2{T%bdK  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Vs?~Ck[(Cs  
GQ/5DPJ7  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^:`)+s'+  
9YOi(7"  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ji Hs#5C5  
S'HYqk/}  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) /`DV{Q%*  
i+D-|$^nPQ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) <V1NcJre)>  
@is o h  
积化和差 /ZF7jt  
9S{q^lS  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] :RgN(`)WQ  
z$+%c2-r  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )~';TCf,!  
>_G!R  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] TC[ D<(  
N;%~@UG? 3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] exC=D"  
EaQ1:S!  
诱导公式 6dEPTck{  
tdQU%  
　　sin(-α) = -sinα .! 8/._A^  
-^ F T+u  
　　cos(-α) = cosα <T\u-A  
04i n%  
　　sin(π/2-α) = cosα T>C9I:J  
}k! u02  
　　cos(π/2-α) = sinα Yo_+dwU  
Z!&#|Dh  
　　sin(π/2+α) = cosα ms y .Le  
ZfOgxI-U  
　　cos(π/2+α) = -sinα eDOflU9hB  
>*u>4 (  
　　sin(π-α) = sinα yZ+TP$}ER^  
$p81Sw9d  
　　cos(π-α) = -cosα E{k%e1[5  
QCdaf ?8  
　　sin(π+α) = -sinα 83bl\ '  
Kf1c_#S*  
　　cos(π+α) = -cosα #W|-SpRM0^  
r1,5>x<  
　　tanA= sinA/cosA F!YV~* :j  
P9Sq?xa"g  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7Y e*0R*  
ot8W}!oe  
　　tan（π/2－α）＝cotα E l[o&j06  
SCgH$l~h  
　　tan（π－α）＝－tanα = :DN|DsA  
b{2YWc~8@=  
　　tan（π＋α）＝tanα NLgU4']'p  
nZ*Nf]  
万能公式 y5 ]7x   
jktVWn{  
　　 4r2bD  
|,z 0W%mF/  
其它公式 z]n vHc  
4Ro(7}UpB?  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 . pQTam  
COaaa~?c  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Y,_.J-}  
r]f_dY}=%  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :iye*U.< 7  
e :Jc'H.n  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 CNX~?4~_@  
z0(# %Jc  
　　对于任意非直角三角形,总有 N7>A~.s,  
w^$$j9N  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC SCTFtX+qX  
gQ5}eO0!(H  
　　证: G12YP~id  
ZQ.l` 5)\  
　　A+B=π-C %MH9'M(%,6  
y_pPN6$$l  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Aut@)2IfG  
\5 *pF.  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %8Er9)Q~#  
Z'p]gKJ,  
　　整理可得 ?oO -|T0d  
O!,} <8-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %1v`*u)pB  
)C& Xsv  
　　得证 k)he$[ C  
8`N@L1q>'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Le=JK-AJ]  
}[,|47be0  
其他非重点三角函数 eTL\ijf  
Q=~R(&dHA  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^'/.{8sG  
dd#nCLcc\  
　　sec(a) = 1/cos(a) +&I|nYE  
G|iE-;=}  
　　 %m&srd  
yV&GE!@  
双曲函数 3Y Tq5i  
J-FK.N PL  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5#rvUti@L  
T}W%r)k  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Z{ZQv~  
2s-BAx" 6  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) N*j_~wLs  
h~JUT([  
　　公式一： p:%kfw9d!l  
]{j~f"  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ]P)h$C  
o>8PB4Q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα !7U+h@GS:  
KnHFRyjZ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα HmSNef1(  
]o0AE6|9l  
　　tan（kπ＋α）= tanα !d^v~N;*   
xf=\!y^,k6  
　　cot（kπ＋α）= cotα {SA'q|  
4SmH46\9  
　　公式二： u/%1=,Z4  
SH4`3y{ j  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： iLb<F d5  
*$5De"Vs ;  
　　sin（π＋α）= -sinα x 4}gr&P?  
[4iUp% {  
　　cos（π＋α）= -cosα wigA)Ac  
jeh?8}  
　　tan（π＋α）= tanα [YKu!8nq  
%6^5'GCk  
　　cot（π＋α）= cotα kx `W&9(N  
MyV51/VV  
　　公式三： <;1e 'DMg  
1/qf;lyh  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "(_,8g\  
L].eS`T^  
　　sin（-α）= -sinα A.|"_F9Z  
+_Al&@   
　　cos（-α）= cosα \mkwsglP  
a.h5X ~[  
　　tan（-α）= -tanα O$#8"JS  
$;cWO6yU@  
　　cot（-α）= -cotα qyc&r1!(=  
OS<,jIbuqK  
　　公式四： "iby#p k4  
MU$VP c)NL  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \20N?jlA  
} _ TbQ  
　　sin（π-α）= sinα a, (uh#;  
^je>TzYz_}  
　　cos（π-α）= -cosα M; z5*"  
SyQ?D*`  
　　tan（π-α）= -tanα yw(I`aBsi:  
GCi|wcH$  
　　cot（π-α）= -cotα L& 9  
"-nR\ b  
　　公式五： `(, 5j\T  
ZFj/pl,s>  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： F mO{1IyoD  
X%1@q)g  
　　sin（2π-α）= -sinα mC7Wnkfby  
;q@t$D/  
　　cos（2π-α）= cosα =q-$Q=|D  
K@I&F)`  
　　tan（2π-α）= -tanα hk.zt}W~  
HYNk1_U<6  
　　cot（2π-α）= -cotα 0c~2:i  
K$KW<K0u'r  
　　公式六： e-em^`  
S WY{nJy  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： V0g%9Lv  
GcsD kLW  
　　sin（π/2+α）= cosα YUl @O_<%  
Cnr#JqiwI  
　　cos（π/2+α）= -sinα `5 sWC^  
ycDVN23K  
　　tan（π/2+α）= -cotα - 2+_<A  
EyJ qfwa  
　　cot（π/2+α）= -tanα `fh>}  
\EIQ>  
　　sin（π/2-α）= cosα aePPDEh  
@Tgq?(a  
　　cos（π/2-α）= sinα k7.Hppn  
xvlGNz%  
　　tan（π/2-α）= cotα r. n;m  
N|>iLJ7T9  
　　cot（π/2-α）= tanα ~ kH@TFSO  
XPglFCf3Z  
　　sin（3π/2+α）= -cosα qkXknp=  
aahJ7 =6  
　　cos（3π/2+α）= sinα l?plYc_q  
@ca9<S] G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 3Zl" |CxP  
u%;)UDZ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα {8 u=u`3<  
k%OU1 "Q  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Q*n IO|  
0<EC 7"  
　　cos（3π/2-α）= -sinα O+M]$Wy  
Pb\c2~<  
　　tan（3π/2-α）= cotα oyv7qkE  
~4Tnduc1  
　　cot（3π/2-α）= tanα fqj>yA!k  
K5%vz  
　　(以上k∈Z) ( L~o#4/  
I%w  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .fG*yMBfPJ  
x;Q;iL)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = "N2"|L  
(&K)ZEkS*  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } rL;iQ$(  
M?GCH-  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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