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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 uy}P+&?  
q0a2lNnX1  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *: MZSb  
jUgIpBP5  
　　1、三角函数本质： S,$q9Q/  
5vGE3_ 1  
　　三角函数的本质来源于定义 T mFoF  
Z7jw4_Bqb  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {(& W*$G1  
uWPBD2j  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ~6@c)FgQ  
\RM61c2x  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： :FKo*eoY1  
'cD#J^V>3%  
　　推导： n..Et<.zg  
"AO(yX L  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 B4h-lbN.@  
?yVivM-{{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) B)N @%3  
w6pX~XN  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) V!RC8F4  
-r~+L|vF  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~jx6uh"b  
IIgXpxyW  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $3u"1j>mj%  
iG(H6e  
　　[1] c(&F[|e}NX  
'JC^7j|k9  
　　两角和公式 Y2 ;iG'  
6c6eow9dV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB bSl0j$|O  
 XOmxPQ0  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ]5:R-z a  
Y= og@8\'w  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB uDE6C>d  
A,L2@]:  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB U\Z-DDVw  
~;L?L*%;  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5$Y6_L)cr  
,sj}'Y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9906oz 8%  
[FKKaT<-  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  lxu1,%_Y  
< gR  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) c.GO @dM*  
* <lH09  
倍角公式 \>7 I:*Y  
j\ vc6`b7  
　　Sin2A=2SinA•CosA \`_u'+5J  
gHIu>DM  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 P "2K" )  
)?]SoF9  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?z gIM|+  
  cyJ*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 9axwTVB(  
2q Hb5 ,  
三倍角公式 A wkr,Xt  
o BzTF_l  
　　 bR${x7lr  
-V|MAq8;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) _Z+mPqI  
MC3L(7^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ev[ XI  
$rH$Hs  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) q*xQBtAH  
rhPE)QK  
三倍角公式推导 7NGO'3=  
S=Nb4;kx  
　　sin3a ^F@. @ *  
JFPK.qG  
　　=sin(2a+a) fr;w7  
"upQC[\'B  
　　=sin2acosa+cos2asina L,N:!~<P  
~t\T;hV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina LXv<k]c61t  
#:N.m&3$7p  
　　=3sina-4sin³a b/M'M8q|-  
1#(:I.Nr  
　　cos3a |%X.ow@g11  
%]VP  
　　=cos(2a+a) %wS=SZ/NPq  
{"<CLynF  
　　=cos2acosa-sin2asina d9 jN=  
3qPwmdu!&  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c p)!YY  
JKM$#  
　　=4cos³a-3cosa !U]Ga?&#$H  
dz 3s  
　　sin3a=3sina-4sin³a t ~]Pe-_6E  
\G!Fz{X]a  
　　=4sina(3/4-sin²a) y <Ur8klX  
,BCBMa{ ^#  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Nuj[8vv  
oMrt$L@<J  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /:T^)01  
Y[kG p+W  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) !A?b&.sC  
YWf#ZuuJ  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 4]n.IfH  
N1g#"G^y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) x[M v1{m\8  
R{Fp6neJ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa UT/>I8i$o2  
w LRF]T`  
　　=4cosa(cos²a-3/4) uJc&?g+  
W.63,ck\  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] OZS ^I  
Vqz8LVU  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) b-:j9DTr  
Jb:7fbhJ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) mfHQl&1w  
X:C]Kmv| #  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} .E~}!B5nZ8  
r=hy  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) QzW" -)Ln5  
X`~X]q5Ok{  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] W{PkH7A3  
{2:.w%U  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 7[?w9\]3  
VjeQ? >k  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]?^AX  
]H`oai  
　　上述两式相比可得 ~@7(W>1  
8S!!  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) mKPoaq~6T#  
q>uGx I  
半角公式 |4^'W9Ol  
/p2u1+'V  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); :1Axa6{  
4V*Oa}  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3~hKQ23  
V LJu@[q  
和差化积 rC$&hgsA?T  
oYmd@K*  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &rnr6A|  
H0aU Z*x  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] g5b!#  
U Uk6m#  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 38zP6-  
.R8uV dU  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] eZF=|lh)#  
`s6 x  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) iPRAP6'  
Ob8f_&8.  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) vnwwkgC [`  
QY8qOj^ 4  
积化和差 #,!2,w 0J  
Y=ENXG:  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] l=m*3'kv  
|6!az^A6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] b-T}S= *O  
i!c{~/$U5+  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4xzQ/oO_w  
(h Z n~]  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] E3i'_=v^  
a<4B0K  
诱导公式 z+1cO =D  
]=8}\  
　　sin(-α) = -sinα *Qt 7GH  
/2./1#@hd%  
　　cos(-α) = cosα 5,CPC;e59  
.&%ezNe{bu  
　　sin(π/2-α) = cosα zi&&@wSO  
) Zvp e5  
　　cos(π/2-α) = sinα [13*.<  
?gOn"T8d  
　　sin(π/2+α) = cosα aDGp #nD  
@Sh[Q2x  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?[A-1RIZv  
R[vQ>~1  
　　sin(π-α) = sinα Fr]V/z  
ADTN~]h  
　　cos(π-α) = -cosα uJk:O7I'  
9`6aw2.>  
　　sin(π+α) = -sinα s8aDg &.h  
6Ukt0Xz~  
　　cos(π+α) = -cosα ==!I-~\xc  
_LWt*6)  
　　tanA= sinA/cosA ExKa={n\tS  
Z!-5{3Sm  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα SWc;:V4?  
\OkX F.-J  
　　tan（π/2－α）＝cotα Km3v qo"U  
GzMc'X^  
　　tan（π－α）＝－tanα 8j_K0SWi  
9U` jP  
　　tan（π＋α）＝tanα Igc~_CMx  
`_ ?C:si3  
万能公式 NGuJz$  
4t:d1Z  
　　 [[ 1"2k2  
}> bW%By  
其它公式 }MS>-l/9  
sE3Tma  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 =RU1vLV  
j :K jU  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?X6%C  
E]7ue$w  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 W7?NAp  
%ep!l#e2t]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !Gis^u>  
4/Cxs%  
　　对于任意非直角三角形,总有 d=Cb`  
.xV~@DTL:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~:r0G m$  
M:mS u_  
　　证:  M[2RU6U  
}<%x U=2u  
　　A+B=π-C V}Lx5Hg  
rG)3-1B2  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 01#Ny^Q;a  
Yx=4EJANs>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) M'!0&Gh'`  
YwwLwm#f$  
　　整理可得 S>-r2lb  
+ p_Nn;P  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /!gk I2_d.  
3eRCq3Qq  
　　得证 (r<b~Z  
lR/;-Rw  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H /F%&! d  
z9@RlEi&  
其他非重点三角函数 c!q:./0u-1  
T=N jW-'a  
　　csc(a) = 1/sin(a) chbqP@CX#/  
`!z"6B Y|  
　　sec(a) = 1/cos(a) QqE{,0  
7!7 ^slrP  
　　 3hQ-+ax  
Mv\%=f  
双曲函数 q`_%J|  
W7C2H9-|  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 #( -6YOQk  
>#SG1fwY  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #t Y` 1.:  
-~fNL#H  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) E!;9y<}  
JF[1[Lx  
　　公式一： f ? <;og  
pv6" F*/  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： <opNC%_$X-  
gjwfo.  
　　sin（2kπ＋α）= sinα x;\p}Q  
OEzZDp(  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 2[cmgv[!  
% *7MC  
　　tan（kπ＋α）= tanα fJncVk"y"  
H's enb  
　　cot（kπ＋α）= cotα +HHYika\$  
&HJ1X _-P  
　　公式二：  {yzLnE/D  
 G.Suny  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $l%r##d  
YxiXdk9i  
　　sin（π＋α）= -sinα AP2GO @c{  
YqEoDpf  
　　cos（π＋α）= -cosα XkAYd"*fF  
(E\uW]   
　　tan（π＋α）= tanα `Dxwd"J  
Me Sis0  
　　cot（π＋α）= cotα T&blhZ^,  
|Ds"Pmi,T  
　　公式三： zWx emM(I  
O |2;>o[  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ^qrtF\  
Jc&\C9Z  
　　sin（-α）= -sinα [Hb5G7daB  
b~UQ@uS2  
　　cos（-α）= cosα qVt02 .=&  
4Y;CiE  
　　tan（-α）= -tanα <8vO3SwFk  
*GIbxBc  
　　cot（-α）= -cotα eZ:zQj  
VG.t M}i  
　　公式四： !S_GZ`H$?  
4hdi y' =  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： AE08:T~^&f  
;$yTjB`<  
　　sin（π-α）= sinα kM} e# QY  
|&E(_T^*  
　　cos（π-α）= -cosα Lt9n tc-  
q?%gUF 7  
　　tan（π-α）= -tanα 5OJ v+]  
6"&(=U)  
　　cot（π-α）= -cotα %:RURCu\X  
7;ALQC  
　　公式五： U\?.<S  
)+E|ayc  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： r2G}(?s7n  
N2k@[Cbe 5  
　　sin（2π-α）= -sinα @A0M !:  
OcB-U~Z  
　　cos（2π-α）= cosα dMG[K5TR  
AECK0D8?  
　　tan（2π-α）= -tanα ^Kdg_~f  
OWl12l2;  
　　cot（2π-α）= -cotα #FW%(3$  
[GWe< i  
　　公式六： 9jj+N2.a  
e}?DWK:P,C  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： LFxv _a  
rP3Qaf! w  
　　sin（π/2+α）= cosα rfV}sYVt  
CLZ!*->  
　　cos（π/2+α）= -sinα TY_(UXpz  
Mj<FE#g)  
　　tan（π/2+α）= -cotα =V{)9G  
y(sF3Z :,7  
　　cot（π/2+α）= -tanα v %##qu  
:jOtyZ%  
　　sin（π/2-α）= cosα Z9E"Qgj  
t$IS}A>(V  
　　cos（π/2-α）= sinα 6< e1  
>5_1:hE  
　　tan（π/2-α）= cotα O)**T-k `  
gQz wXU$x  
　　cot（π/2-α）= tanα ]Ach5$&  
1x 0JuJ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :_*Lm! [}  
ZuKB:r_#  
　　cos（3π/2+α）= sinα |)!8Y.i!0Y  
NlzgE+4.  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ZFI*1{*.*  
W*tSRpcZ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 4.GQpVfT  
b+tJI AA  
　　sin（3π/2-α）= -cosα w.88/f-1^  
Ovbx<q_  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ysgoY.  
>R577(qf  
　　tan（3π/2-α）= cotα <-3D22e3R  
?c3O1i#t  
　　cot（3π/2-α）= tanα 1'<2a  
Q9:wO31p  
　　(以上k∈Z) 5ZT+ytB!  
cD*(kY]Dep  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ethu:D[.  
\1~ An'G  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ([.Y645  
D"|Fo+!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } TD WZ0?  
CgR1Vb]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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